什么是 卡尔曼滤波（Kalman Filter）？
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种递归贝叶斯估计器，它根据连续含噪观测，计算线性状态空间模型当前滤波分布的均值与协方差。
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工作原理
预测状态及其不确定性
对 x_k = F x_(k-1) + B u_k + w_k 且 w_k ~ N(0, Q)，预测步骤计算 m_k^- = F m_(k-1) + B u_k 与 P_k^- = F P_(k-1) F^T + Q。均值按动力学前移，过程噪声使不确定性增加；观测缺失时通常只保留该预测，而不是虚构一次校正。
Kalman 1960 年原始论文建立了递归线性滤波与误差协方差方程。精确贝叶斯高斯滤波还要求高斯初始状态及兼容的独立高斯噪声；只有较弱二阶矩假设时，应把最优性准确表述为线性估计器结论。
利用新息和卡尔曼增益校正
对量测 y_k = H x_k + v_k，先定义 Innovation r_k = y_k - H m_k^- 与 Innovation Covariance S_k = H P_k^- H^T + R。增益 K_k = P_k^- H^T S_k^-1 用 K_k r_k 校正均值；它是由方向性不确定性推导出的矩阵，不是人工选择的单一信任比例。
能够使用线性方程求解或 Cholesky 分解时，不应显式构造稠密逆矩阵。Joseph 协方差更新 (I-KH)P^-(I-KH)^T + K R K^T 计算稍多，但在有限精度下更有利于保持对称与半正定。
用新息统计检验模型
轨迹平滑不能证明滤波器已经校准。模型假设成立时，Whitened Innovation 应近似零均值、时间不相关，并与 S_k 一致。持续偏差、自相关或极端 Normalized Innovation Squared，可能暴露错误动力学、传感器偏置、时间错位、异常值，或失真的 Q 与 R。
应报告初始化、离散化、单位、缺失数据处理、数值形式、新息覆盖、留出数据或模拟真值上的状态误差和延迟。声明为非线性近似时可选 EKF 或 UKF；后验明显非高斯时考虑 Particle Filter；只有未来观测可合法使用时才采用 RTS Smoother。
主要特点
- 通过均值与协方差维护高斯状态估计
- 交替执行模型预测与观测校正
- 根据新息协方差计算 Kalman Gain
- 对指定线性高斯状态空间模型给出精确递推
- 每个时间步使用有界状态内存递归运行
- 高度依赖模型、噪声、初始化与数值质量
常见用途
- 位置与速度的实时跟踪
- 导航和控制系统中的传感器融合
- 时间序列潜在分量的在线估计
- 存在间歇观测时的状态估计
- 验证近似滤波器的参考解
示例
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卡尔曼滤波在什么条件下是精确的？
当初始状态和噪声为高斯、状态转移与观测模型为线性，并满足声明的独立性和协方差假设时，它精确给出滤波均值与协方差。其他场景可能只有线性估计最优性，或本身就是近似。
卡尔曼增益代表什么？
Kalman Gain 把量测新息映射成状态校正。它由预测状态协方差、观测模型和测量协方差共同决定，因此会按方向权衡不确定性，而不是一个任意的标量平滑系数。
过程噪声 Q 与测量噪声 R 应如何选择？
应从过程和传感器误差模型、标定数据、采样间隔与单位推导，再用留出轨迹和新息统计验证。仅为了让输出看起来平滑而调参，可能得到严重失真的协方差。
观测缺失时卡尔曼滤波如何处理？
可以只执行预测步骤，把预测均值向前传播，同时让协方差通过动力学与过程噪声增长。实现必须区分缺失观测与数值为零的真实观测。
卡尔曼滤波与 RTS 平滑器有什么区别？
Filtering 只使用截至当前时刻的观测估计当前状态。RTS Smoother 先完成前向滤波，再在后向过程中使用未来观测，因此是固定区间回顾估计，不是在线滤波的直接替代。