什么是 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）？
扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）是一种非线性状态估计器，它让均值经过非线性动力学传播，并用局部一阶 Jacobian 近似协方差与量测更新。
快速了解
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工作原理
围绕当前估计线性化非线性动力学
对 x_k = f(x_(k-1), u_k) + w_k，EKF 用 f 预测均值，却用在当前估计处求得的 Jacobian F_k = df/dx 近似协方差：P_k^- = F_k P_(k-1) F_k^T + Q。非线性噪声映射还需要自己的 Jacobian 与变换后协方差；暗中按加性噪声处理会改变模型。
Särkkä 与 Svensson 的系统推导把 EKF 定位为局部高斯近似。Taylor Expansion 只在展开点附近可信，因此宽广、弯曲、不连续或多峰的不确定性可能被严重误表达。
通过线性化量测模型更新
对 y_k = h(x_k) + v_k，先计算预测量测 h(m_k^-)、量测 Jacobian H_k = dh/dx、Innovation y_k - h(m_k^-)，以及 S_k = H_k P_k^- H_k^T + R，再使用与线性 Kalman 更新相同的代数结构计算增益。
Jacobian 必须与单位、坐标系、角度归一化及均值预测使用的求值点一致。Automatic Differentiation 能消除手写导数错误，却不能修复糟糕的状态表示。姿态等流形状态通常需要 Error-state 或 Manifold-aware 形式，而不是直接相减坐标。
在滤波发散前识别不一致
NASA Artemis-1 EKF 报告展示了生产滤波器如何组合动力学、IMU 传播、多类观测、协方差跟踪与显式传感器误差状态；这远比在教材公式中代入 Jacobian 更完整。
应监控 Innovation Whiteness、Normalized Innovation Squared、存在真值时的状态误差一致性、协方差特征值、被拒量测、Jacobian 条件数，以及对初始化和 Q/R 的敏感性。在同一模拟模型上与线性 Kalman 特例、UKF 和 Particle Filter 对照。反复协方差坍缩或新息偏置意味着应修正模型，而不是只放大噪声让曲线好看。
主要特点
- 让状态均值经过非线性转移函数传播
- 用一阶 Jacobian 近似协方差传播
- 在预测估计处线性化非线性观测函数
- 每个时间步只保留一个高斯近似
- 支持递归实时状态估计
- 强非线性下可能不一致或发散
常见用途
- 采用非线性运动或距离方位传感器的机器人定位
- 惯性与卫星导航传感器融合
- 动态系统中的在线参数与偏置估计
- 可微非线性量测模型的目标跟踪
- 计算预算受限的嵌入式状态估计
示例
Loading code...常见问题
扩展卡尔曼滤波对非线性系统是精确的吗？
不是。它传播一个高斯近似，并只保留当前估计附近的一阶项。在线性高斯特例中会退化为精确 Kalman 递推，但非线性场景的准确度依赖具体模型与状态。
EKF 的 Jacobian 应该在哪个点求值？
状态转移 Jacobian 通常在用于预测的上一时刻滤波估计处计算，量测 Jacobian 在预测估计处计算。公式还必须与所选加性或非加性噪声模型保持一致。
扩展卡尔曼滤波为什么会发散？
初始化差、曲率强、状态不可观测、噪声协方差错误、时间或坐标系错位、异常值，以及协方差数值失效都会让滤波器过度自信。协方差错误缩小时，后续量测权重可能不足以恢复。
什么时候应以 UKF 替代 EKF？
当可靠 Jacobian 难以获得，或局部一阶传播明显扭曲均值和协方差时，值得对照 UKF。UKF 仍只保留高斯摘要，并增加 Sigma Point 缩放与矩阵分解成本，因此并非普遍更优。
如何测试 EKF 实现？
用有限差分或 Automatic Differentiation 核验解析 Jacobian，把模型简化到已知 Kalman 结果的线性情形，运行带真值的 Monte Carlo，并检查新息一致性、状态误差、协方差有效性与初始化敏感性。